METODE
MONTE
CARLO
Monte Carlo adalah
algoritma komputasi untuk mensimulasikan berbagai perilaku sistem fisika
dan
matematika. Penggunaan klasik metode ini adalah untuk mengevaluasi
integral
definit, terutama integral multidimensi dengan syarat dan batasan yang
rumit.
Simulasi Monte Carlo sangat penting dalam fisika komputasi dan bidang
terapan
lainnya, dan memiliki aplikasi yang beragam mulai dari penghitungan
termodinamika
kuantum esoterik hingga perancangan aerodinamika. Metode ini terbukti
efisien
dalam memecahkan persamaan diferensial integral medan radian, sehingga
metode
ini digunakan dalam penghitungan iluminasi global yang menghasilkan
gambar-gambar fotorealistik model tiga dimensi, dimana diterapkan dalam
video
games, arsitektur, perancangan, film yang dihasilkan oleh komputer,
efek-efek
khusus dalam film, bisnis, ekonomi, dan bidang lainnya.
Karena algoritma ini
memerlukan pengulangan (repetisi) dan penghitungan yang amat kompleks,
metode
Monte Carlo pada umumnya dilakukan menggunakan komputer, dan memakai
berbagai
teknik simulasi komputer. Algoritma Monte Carlo adalah metode Monte
Carlo
numerik yang digunakan untuk menemukan solusi matematis (yang dapat
terdiri
dari banyak variabel) yang sulit dipecahkan, misalnya dengan kalkulus
integral,
atau metode numerik lainnya.
A. Sejarah
Metode Monte Carlo
Ide pertama dicetuskan Enrico
Fermi di tahun 1930an.
Pada saat itu para fisikawan di Laboratorium Sains Los Alamos sedang
memeriksa
perlindungan radiasi dan jarak yang akan neutron tempuh melalui beberapa
macam
material. Namun data yang didapatkan tidak dapat membantu untuk
memecahkan
masalah yang ingin mereka selesaikan karena ternyata masalah tersebut
tidak
bisa diselesaikan dengan penghitungan analitis.
Lalu John von Neumann dan
Stanislaw Ulam memberikan
ide untuk memecahkan masalah dengan memodelkan eksperimen di komputer.
Metode
tersebut dilakukan secara untung-untungan. Takut hasil karyanya dicontek
orang,
metode tersebut diberi kode nama Monte Carlo
Nama Monte Carlo‖ kemudian
akhirnya menjadi populer
oleh Enrico Fermi, Stanislaw Ulam, dan rekan-rekan mereka sesama
peneliti
fisika. Nama Monte Carlo merujuk kepada sebuah kasino terkenal di
Monako. Di
sanalah paman dari Stanislaw Ulam sering meminjam uang untuk berjudi.
Kegunaan
dari ketidakteraturan dan proses yang berulang memiliki kesamaan dengan
aktivitas
di kasino.
Hal yang berbeda dari simulasi
Monte Carlo adalah ia
membalikkan‖ bentuk simulasi yang umum. Metode ini akan mencari
kemungkinan
terlebih dahulu sebelum memahami permasalahan yang ada. Sementara
umumnya
menggunakan simulasi untuk menguji masalah yang sebelumnya telah
dipahami.
Walaupun pendekatan terbalik ini sudah ada sejak lama, namun baru
setelah
metode Monte Carlo populer pendekatan ini diakui
Penggunaan metode paling awal
diketahui digunakan
oleh Enrico Fermi di tahun 1930. Pada waktu itu beliau menggunakan
metode acak
untuk menghitung sifat dari neutron yang baru ditemukan. Baru setelah
komputer
pertama diperkenalkan sekitar tahun 1945 metode Monte Carlo mulai
dipelajari
lebih lanjut. Metode ini telah digunakan di bidang fisika, kimia fisika,
dan
lain-lain. Rand Corporation dan U.S. Air Force merupakan sponsor utama
dalam
pengembangan metode Monte Carlo pada waktu itu dan metode ini semakin
berkembang di berbagai bidang.
Penggunaan metode Monte Carlo
membutuhkan sejumlah
besar angka acak sehingga seiring dengan berkembangnya metode ini,
berkembang
pula pseudorandom number generator yang ternyata lebih efektif digunakan
daripada tabel angka acak yang terlah sebelumnya sering digunakan untuk
pengambilan sampel statistik.
B. Penerapan
Metode
Metode Monte Carlo memiliki banyak
penerapan di
berbagai bidang. Penerapan metode Monte Carlo antara lain dalam bidang:
1. Grafis.
Digunakan
untuk penjejakan sinar.
2. Biologi.
Mempelajari
jaringan biologi.
3. Keuangan
Dalam
bidang ini, Monte Carlo digunakan untuk menilai dan menganalisis
model-model
finansial.
4. Fisika.
Cabang-cabang
fisika yang menggunakan antara lain fisika statistik dan partikel. Dalam
fisika
partikel, digunakan untuk eksperimen. Dalam ilmu nuklir metode ini juga
banyak
diterapkan
5. Ilmu
probabilitas dan statistik.
Digunakan
untuk mensimulasikan dan memahami efek keberagaman.
6. Ilmu
komputer.
Misalnya
Algoritma Las Vegas dan berbagai permainan komputer.
7. Kimia.
Digunakan
untuk simulasi yang melibatkan kluster-kluster atomik.
8. Ilmu lingkungan.
Metode
ini digunakan untuk memahami perilaku kontaminan.
Masih banyak lagi penerapan metode
Monte Carlo di
berbagai bidang. Di makalah ini mari kita bahas satu persatu.
C. Penerapan
Metode untuk Menghitung π
Seperti yang telah disebutkan di
atas, metode Monte
Carlo dapat diaplikasikan untuk menghitung π. Penghitungan π dengan
menerapkan
metode Monte Carlo adalah sebagai berikut.
Langkah pertama, buatlah sebuah
persegi dengan
panjang sisi 2r. Lalu gambarlah sebuah lingkaran di dalam persegi
tersebut
dengan jari-jari lingkaran sepanjang r. Gambar dapat dilihat di Gambar
1.
Gambar 1
Untuk mempermudah perhitungan,
bagian yang akan
ditinjau hanyalah satu kuadran dari sebuah lingkaran saja. Ilustrasinya
adalah
seperti gambar di bawah ini. Untuk mempermudah, bagian lingkaran kita
warnai
jingga sementara sisanya kita biarkan putih.
Gambar 2
Kemudian kita bisa membayangkan
menaburkan beras di
atas gambar tersebut. Kita bisa menyebut kejadian tersebut sebagai
kejadian
dengan sampel acak. Karena acak itulah, kita bisa memperkirakan
perbandingan
jumlah butir beras yang jatuh di daerah berwarna jingga dengan yang
jatuh di
daerah putih.
Bila kita mendefinisikan x sebagai
variabel acak
dari kejadian butiran beras jatuh di daerah jingga (lingkaran) dan y
sebagai
variabel acak dari kejadian butiran beras jatuh di daerah persegi
(keseluruhan), sementara P(x) dan P(y) adalah kemungkinan terjadinya
kejadian
tersebut, maka dapat disimpulkan hal-hal seperti di bawah ini.
Misalnya radius dari lingkaran
adalah 1 satuan
panjang. Untuk setiap butiran beras yang jatuh kita bisa mendapatkan 2
angka
acak. Angka-angka tersebut adalah angka a dan b yang merupakan kordinat
dari
tempat jatuhnya butiran beras. Kemudian kita bisa menghitung jarak dari
titik
asal (0,0) dan mengambil kesimpulan. Hasil jarak yang kurang dari 1
berarti
butiran beras jatuh di dalam daerah jingga.
Bila kita telah mendapatkan nilai
P(x) dan P(y),
sesungguhnya kita bisa langsung menghitung π namun angka yang dihasilkan
tidak
akan memuaskan.
Namun untuk mendapatkan hasil π
yang memuaskan
ternyata dibutuhkan butiran beras dalam jumlah besar. Untuk mempermudah,
kita
bisa membuat komputer menghasilkan angka-angka acak.
Bila kita melakukannya
berjuta-juta kali, kita akan
mendapatkan P(x) dan P(y) yang merupakan jumlah terjadinya kejadian x/y
dibagi
jumlah percobaan yang dilakukan. Setelah mendapatkan P(x) dan P(y) (atau
cukup
jumlah kejadian x dan y), kita dapat menghitung besar π dengan hasil
yang
memuaskan.
Bila kita melakukannya
berjuta-juta kali, kita akan
mendapatkan P(x) dan P(y) yang merupakan jumlah terjadinya kejadian x/y
dibagi
jumlah percobaan yang dilakukan. Setelah mendapatkan P(x) dan P(y) (atau
cukup
jumlah kejadian x dan y), kita dapat menghitung besar π dengan hasil
yang
memuaskan. Metode ini termasuk kepada metode pembalikan seperti telah
disebutkan sebelumnya.
D. Penerapan
Metode Monte Carlo di Bidang Permainan Komputer
Penerapan metode ini juga terdapat
pada banyak
permainan komputer. Antara lain permainan Go (semacam catur dari Jepang)
dan
battleship.
Penerapan yang akan dibahas adalah
dalam permainan
battleship. Metode seperti ini juga ada di permainan bawaan Windows
yaitu
Minesweeper.
Di bawah ini adalah gambar dari
permainan tersebut.
Gambar 5
Tujuan dari permainan ini adalah
menebak
di mana lokasi kapal lawan. Pada keadaan awal, lokasi kapal sama sekali
tidak
diketahui. Pemain pun menebak-nebak secara acak. Ketika akhirnya salah
satu
tebakan mengenai kapal, maka akan muncul warna merah sebagai tanda.
Karena kita
mengetahui bahwa kapal sebesar empat satuan panjang, maka hanya ada dua
kemungkinan lokasi kapal. Hal tersebut bisa dilihat di gambar B.
Kemungkinan
pun semakin mengerucut sehingga kita hanya perlu menebak 4 ke kanan atau
4 ke
bawah. Hingga akhirnya pada bagian C kita bisa tahu di mana posisi kapal
lawan.
E. Penerapan Metode Monte Carlo di
Bidang Lain
Metode Monte Carlo juga bisa
digunakan
untuk mensimulasikan reaksi dan interaksi yang kompleks dalam bidang
keilmuan
fisika dan kimia.
Di bidang ilmu grafis, metode ini
digunakan untuk pelacakan objek.
Masih banyak lagi penerapan metode
Monte
Carlo di bidang ilmu lainnya.